{"cells": [{"cell_type": "markdown", "id": "16b94382", "metadata": {}, "source": ["# Exercices sur les nombres\n", "\n", "## Fonctions math\u00e9matiques\n", "\n", "* Est ce que la fonction log est le logarithme d\u00e9cimal ou n\u00e9p\u00e9rien ?\n", "* Calculer $x = \\sqrt{2}$ puis calculer $x^2$. Que se passe-t-il ?\n", "* Calculer $\\arccos{\\frac{\\sqrt{2}}{2}}$ et comparer \u00e0 sa valeur th\u00e9orique."]}, {"cell_type": "markdown", "id": "fb6c743d", "metadata": {}, "source": ["## Constante de structure fine\n", "\n", "La constante de structure fine est d\u00e9finie en physique comme \u00e9tant \u00e9gale \u00e0 \n", "\n", "$$ \n", "\\alpha = \\frac{e^2}{2\\epsilon_0 h c}\n", "$$ \n", "\n", "o\u00f9 \n", "\n", "* $e$ est la charge de l'\u00e9lectron et vaut $1.602176634 \\times 10^{-19} C$\n", "* $h$ est la constante de Planck et vaut $6.626\\,070\\,15 \\times 10^{-34} J s$ \n", "* $\\epsilon_0$ la permitivit\u00e9 du vide et vaut $8.8541878128 \\times 10^{-12} F/m$\n", "* $c$ la c\u00e9l\u00e9rit\u00e9 de la lumi\u00e8re dans le vide, $c=299792458 m/s$\n", "\n", "D\u00e9finissez en Python les variables ``e``, ``hbar``, ``epsilon_0`` et ``c``. Calculez $\\alpha$ et $1/\\alpha$"]}, {"cell_type": "markdown", "id": "1e16c06e", "metadata": {}, "source": ["## Pr\u00e9cision des nombres\n", "\n", "* Soit $x=1$ et $\\epsilon = 10^{-15}$. Calculez $y=x + \\epsilon$ et ensuite $y - x$. \n", "* Pourquoi le r\u00e9sultat est diff\u00e9rent de $10^{-15}$. \n", "* Que vaut cette valeur ? "]}, {"cell_type": "markdown", "id": "93b96efe", "metadata": {}, "source": ["## Calcul d'une d\u00e9riv\u00e9e\n", "\n", "On consid\u00e8re une fonction $f(x)$. On rappelle que la d\u00e9riv\u00e9e peut se d\u00e9finir comme\n", "\n", "$$\n", "f^\\prime(x) = \\lim_{\\epsilon\\rightarrow0}\\frac{f(x+\\epsilon) - f(x)}{\\epsilon}\n", "$$\n", "\n", "Pour calculer num\u00e9riquement une d\u00e9riv\u00e9e, il faut \u00e9valuer la limite en prenant une valeur 'petite' de $\\epsilon$. \n", "\n", "On prendra comme exemple $f(x) = \\sin(x)$. \n", "\n", "* Calculer num\u00e9riquement la d\u00e9riv\u00e9e de $f$ en $\\pi/4$ en utilisant la formule pour $\\epsilon = 10^{-6}$.\n", "* Comparer \u00e0 la valeur th\u00e9orique $\\cos(x)$ pour diff\u00e9rentes valeurs de $\\epsilon$ que l'on prendra comme puissance de 10 ($\\epsilon = 10^{-n}$). Que se passe-t-il si $\\epsilon$ est trop petit ? trop grand ?\n", "* Ecrire la fonction ``sin_prime(x, epsilon)`` qui calcule la d\u00e9riv\u00e9e de sin en $x$\n", "* Ecrire une fonction qui prend une fonction quelconque et renvoie la fonction d\u00e9riv\u00e9e."]}, {"cell_type": "markdown", "id": "baacad7a", "metadata": {}, "source": ["## Nombre complexe\n", "\n", "* Ecrire une fonction qui calcule le module d'un nombre complexe $z$\n", "* Ecrire une fonction qui \u00e0 partir de $r$ et $\\theta$ renvoie le nombre $z = re^{i\\theta} = r\\cos(\\theta) + ir\\sin(\\theta)$"]}], "metadata": {"kernelspec": {"display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3"}, "language_info": {"codemirror_mode": {"name": "ipython", "version": 3}, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.8"}, "varInspector": {"cols": {"lenName": 16, "lenType": 16, "lenVar": 40}, "kernels_config": {"python": {"delete_cmd_postfix": "", "delete_cmd_prefix": "del ", "library": "var_list.py", "varRefreshCmd": "print(var_dic_list())"}, "r": {"delete_cmd_postfix": ") ", "delete_cmd_prefix": "rm(", "library": "var_list.r", "varRefreshCmd": "cat(var_dic_list()) "}}, "types_to_exclude": ["module", "function", "builtin_function_or_method", "instance", "_Feature"], "window_display": false}}, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5}