{"cells": [{"cell_type": "markdown", "id": "b0b503da", "metadata": {}, "source": ["# Exemple simple de DFT\n", "\n", "L'objectif de cet exercice est d'\u00e9tudier num\u00e9riquement la transform\u00e9e de Fourier d'une Gaussienne : $G(x) = \\exp(-\\frac{x^2}{2\\sigma^2})$. Analytiquemet, la T.F. de G vaut $\\tilde G(\\omega) = \\sqrt{2\\pi}\\sigma \\exp(-\\frac{\\omega^2\\sigma^2}{2})$\n", "\n", "1. \u00c9crire une fonction Python qui retourne une Gaussienne $\\exp(-\\frac{x^2}{2\\sigma^2})$ sur [-L/2, L/2] et son axe des \\texttt{x = L/N*np.arange(N) - L/2}, prenant comme param\u00e8tres $\\sigma$, $L$ et $N$.\n", "    \n", "2. Tracer la Gaussienne pour $\\sigma=0.5$ et $N=1000$ et $L=5$. \n", "\n", "3. Tracer la DFT de la Gausienne pour $\\sigma=0.15$ pour une plage de fr\u00e9quences inf\u00e9rieures \u00e0 20 : (a) Quel taux d'\u00e9chantillonnage $\\Delta x = L/N$ faut-il utiliser ? (b) Quelle valeur minimum de L faut-il choisir pour obtenir une r\u00e9solution en fr\u00e9quence de 0.04 ? \n", "\n", "4. Comparer la courbe obtenue avec la formule analytique ? Pourquoi la DFT de la Gaussienne n'est pas possitive ?\n", "\n", "5. Que se passe-t-il si $\\sigma=1.5$ ?\n", "\n", "6. Appliquer la transform\u00e9e de Fourier inverse et v\u00e9rifier que l'on obient bien le signal initial."]}], "metadata": {"celltoolbar": "Tags", "kernelspec": {"display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3"}, "language_info": {"codemirror_mode": {"name": "ipython", "version": 3}, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.8"}, "varInspector": {"cols": {"lenName": 16, "lenType": 16, "lenVar": 40}, "kernels_config": {"python": {"delete_cmd_postfix": "", "delete_cmd_prefix": "del ", "library": "var_list.py", "varRefreshCmd": "print(var_dic_list())"}, "r": {"delete_cmd_postfix": ") ", "delete_cmd_prefix": "rm(", "library": "var_list.r", "varRefreshCmd": "cat(var_dic_list()) "}}, "types_to_exclude": ["module", "function", "builtin_function_or_method", "instance", "_Feature"], "window_display": false}}, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5}