{"cells": [{"cell_type": "markdown", "id": "63636091", "metadata": {}, "source": ["# Equation de Schr\u00f6dinger et \u00e9tats comprim\u00e9s\n", "\n", "Ce TD a pour but de simuler num\u00e9riquement le TD \"Etats quantiques d\u2019atomes de c\u00e9sium dans un pi\u00e8ge harmonique\" du cours de physique quantique.\n", "\n", "On prendra $m=1$, $\\hbar=1$. On consid\u00e8re de plus un pi\u00e8ge harmonique de pulsation $\\omega = 2\\pi$. \n", "\n", "1. Ecrire (avec un papier et un crayon!) l'\u00e9quation de Schr\u00f6dinger. \n", "\n", "2. Ecrire (avec un papier et un crayon) la fonction d'onde de l'\u00e9tat fondamental du pi\u00e8ge harmonique. \n", "\n", "On va \u00e9chantillonner l'espace entre -5 et 5 avec un pas de 0.02\n", "\n", "3. Ecrire une fonction Python qui calcule un \u00e9tat Gaussien d'\u00e9cart type $\\sigma_x$ de vitesse $v_0$ et centr\u00e9 en $x_0$. \n", "\n", "4. Ecrire une fonction Python qui calcule le Laplacien d'une fonction d'onde $\\psi$.\n", "\n", "5. Ecrire la fonction Python `psi_prime(t, psi, V)` qui donne la d\u00e9riv\u00e9e de psi. V\u00e9rifier graphiquement que l'on a bien $\\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} = -i\\frac{\\omega}{2} \\psi$ pour l'\u00e9tat fondamental du pi\u00e8ge. \n", "\n", "6. R\u00e9soudre num\u00e9riquement sur un temps $t=1.5$ l'\u00e9quation de Schr\u00f6dinger pour diff\u00e9rents \u00e9tats initiaux : par exemple un paquet centr\u00e9 en $-2$ initialement au repos et de largeur $0.3$. On utilisera la m\u00e9thode `RK23`.\n", "\n", "7. Ecrire une fonction python `moments_x(psi)` qui retourne $\\mathbb{E}(X)$ (position moyenne) et $\\mathbb{E}((X - \\mathbb{E}(X))^2)$ (carr\u00e9 de la largeur du paquet)\n", "\n", "8. Tracer ces moments en fonction de t.\n", "\n", "9. Question 7 et 8, mais avec l'impulsion. Dans le calcul de l'esp\u00e9rance, on suprimera les parties hautes impulsions qui sont d\u00fbes \u00e0 du bruit num\u00e9rique\n", "\n", "10. Pendant 0.5 seconde, on laisse la paquet \u00e9voluer librement (V=0) puis pendant une dur\u00e9e $t<0.5$, le paquet \u00e9volue avec le potentiel harmonique. Tracer la largeur en impulsion en fonction de cette dur\u00e9e. \n"]}], "metadata": {"celltoolbar": "Tags", "kernelspec": {"display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3"}, "language_info": {"codemirror_mode": {"name": "ipython", "version": 3}, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.8"}, "varInspector": {"cols": {"lenName": 16, "lenType": 16, "lenVar": 40}, "kernels_config": {"python": {"delete_cmd_postfix": "", "delete_cmd_prefix": "del ", "library": "var_list.py", "varRefreshCmd": "print(var_dic_list())"}, "r": {"delete_cmd_postfix": ") ", "delete_cmd_prefix": "rm(", "library": "var_list.r", "varRefreshCmd": "cat(var_dic_list()) "}}, "types_to_exclude": ["module", "function", "builtin_function_or_method", "instance", "_Feature"], "window_display": false}}, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5}