Le pendule

On considère l’équation : $\( \theta^{\prime\prime} = -\sin{\theta}\)$

Pour résoudre cette équation, on définit le tableau \(y(t) = (\theta(t), \theta^\prime(t))\).

1. Écrire la fonction Python f(t, y) qui renvoie la dérivée de \(y\)

2. Résoudre et tracer le resultat de l’équation différentielle pour les conditions initiales : \(\theta(0) = 2\pi/4\) et \(\theta^\prime(0) = 0\)

3. Vérifier que l’énergie totale est conservée

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Solution

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np
from numpy import pi

from scipy.integrate import solve_ivp

def f(t, y):
    theta, theta_prime = y
    return np.array([theta_prime, -np.sin(theta)])

t_eval = np.linspace(0, 10)

res = solve_ivp(f, [0, 10], [3*np.pi/4, 0], t_eval=t_eval)

plt.plot(res.t, res.y[0])
plt.xlabel('t')
plt.ylabel(r'$\theta$');

energie_potentielle = -np.cos(res.y[0])
energie_cinetique = res.y[1]**2/2

plt.plot(res.t, energie_potentielle, label='Pot.')
plt.plot(res.t, energie_cinetique, label='Cin.')
plt.plot(res.t,  energie_potentielle + energie_cinetique, label='tot.')
plt.legend();