Exemple simple de DFT¶
L’objectif de cet exercice est d’étudier numériquement la transformée de Fourier d’une Gaussienne : \(G(x) = \exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})\). Analytiquemet, la T.F. de G vaut \(\tilde G(\omega) = \sqrt{2\pi}\sigma \exp(-\frac{\omega^2\sigma^2}{2})\)
Écrire une fonction Python qui retourne une Gaussienne \(\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})\) sur [-L/2, L/2] et son axe des \texttt{x = L/N*np.arange(N) - L/2}, prenant comme paramètres \(\sigma\), \(L\) et \(N\).
Tracer la Gaussienne pour \(\sigma=0.5\) et \(N=1000\) et \(L=5\).
Tracer la DFT de la Gausienne pour \(\sigma=0.15\) pour une plage de fréquences inférieures à 20 : (a) Quel taux d’échantillonnage \(\Delta x = L/N\) faut-il utiliser ? (b) Quelle valeur minimum de L faut-il choisir pour obtenir une résolution en fréquence de 0.04 ?
Comparer la courbe obtenue avec la formule analytique ? Pourquoi la DFT de la Gaussienne n’est pas possitive ?
Que se passe-t-il si \(\sigma=1.5\) ?
Appliquer la transformée de Fourier inverse et vérifier que l’on obient bien le signal initial.