Piège de Penning

À partir du sujet de 2021

En physique, les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées pendant une longue durée, notamment dans le but de mesurer leurs propriétés avec précision.

Il n’est pas possible de réaliser un piège à ions uniquement avec un champ électrique statique : en effet, un tel piège nécéssiterait d’avoir un maximum ou minimum du potentiel électrique - ce qui est impossible car son Laplacien est nul.

Le piège de Penning est un dispositif permettant de stocker des particules chargées, grâce à la combinaison d’un champ magnétique uniforme et d’un champ électrique quadripolaire constant. Nous proposons d’en simuler le comportement.

On considère un ion béryllium \(Be^+\) dont on notera \(q\) la chage. On note \(B\) l’amplitude du champ magnétique, uniforme, et dirigé selon \(z\). Le champ electrostatique dipolaire dérive du potentiel suivant :

\[ V = \frac{Q}{2} \left(x^2 +y^2 - 2z^2\right) \]

Le champ électrique vaut donc :

\[ \vec E = -Q\left( x\vec{u}_x + y\vec{u}_y -2z\vec{u}_z \right) \]

La force est donnée par :

\[ \vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v}\wedge\vec{B}\right) \]

où le symbol \(\wedge\) représente le produit vectoriel.

Valeurs numériques :

proton_mass = 1.67E-27
m = 9*proton_mass
q = e = 1.6E-19

# Valeurs par défaut
B = 2 # Tesla
Q = -300/1E-2**2 # 300V/cm^2

  1. Ecrire une fonction python qui renvoie l’accélération \(\vec{F}/m\) en fonction de \(\vec{r}\) la position et \(\vec{v}\) la vitesse représentée par des tableaux numpy. On pourra utiliser la fonction np.cross pour calculer la produit vectoriel

  1. Ecrire une fonction qui à partir d’une condition initiale \(r_0\), \(v_0\) renvoie la position et la vitesse pour un ensemble de valeur (croissante) \(t_i\)

     def trajectoire(r_0, v_0, t_array, Q, B):
     ....
     return x, y, z, vx, vy, vz

  1. Dans un champ magnétique uniforme (sans champ électrique), un particule à une trajectoire circulaire dans le plan orthogonal au champ. Vérifier ceci en calculant la tractoire d’une particule ayant initialement une vitesse de 100 m/s dans ce plan.

  1. On considère maintenant une particule dans le champ magnétique et électrique. Paramètre initiaux : \(\vec{r} = (0, 100~\mathrm{\mu m}, 0)\) et \(\vec{v} = (500~\mathrm{m/s}, 100~\mathrm{m/s}, 1~\mathrm{m/s})\). On calculera pendant \(5~\mathrm{\mu s}\) en échantillonant sur au moins 2000 points. Tracer la trajectoire dans le plan \(x, y\) puis en 3D.