Equation de Schrödinger et états comprimés

Ce TD a pour but de simuler numériquement le TD “Etats quantiques d’atomes de césium dans un piège harmonique” du cours de physique quantique.

On prendra \(m=1\), \(\hbar=1\). On considère de plus un piège harmonique de pulsation \(\omega = 2\pi\).

1. Ecrire (avec un papier et un crayon!) l’équation de Schrödinger.

2. Ecrire (avec un papier et un crayon) la fonction d’onde de l’état fondamental du piège harmonique.

On va échantillonner l’espace entre -5 et 5 avec un pas de 0.02

3. Ecrire une fonction Python qui calcule un état Gaussien d’écart type \(\sigma_x\) de vitesse \(v_0\) et centré en \(x_0\).

4. Ecrire une fonction Python qui calcule le Laplacien d’une fonction d’onde \(\psi\).

5. Ecrire la fonction Python psi_prime(t, psi, V) qui donne la dérivée de psi. Vérifier graphiquement que l’on a bien \(\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i\frac{\omega}{2} \psi\) pour l’état fondamental du piège.

6. Résoudre numériquement sur un temps \(t=1.5\) l’équation de Schrödinger pour différents états initiaux : par exemple un paquet centré en \(-2\) initialement au repos et de largeur \(0.3\). On utilisera la méthode RK23.

7. Ecrire une fonction python moments_x(psi) qui retourne \(\mathbb{E}(X)\) (position moyenne) et \(\mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X))^2)\) (carré de la largeur du paquet)

8. Tracer ces moments en fonction de t.

9. Question 7 et 8, mais avec l’impulsion. Dans le calcul de l’espérance, on suprimera les parties hautes impulsions qui sont dûes à du bruit numérique

10. Pendant 0.5 seconde, on laisse la paquet évoluer librement (V=0) puis pendant une durée \(t<0.5\), le paquet évolue avec le potentiel harmonique. Tracer la largeur en impulsion en fonction de cette durée.